初中数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题+答案解析

在勾股定理这一章中，很多题目也体现了分类讨论思想，稍不注意容易出现错误。其实，勾股定理的基础知识非常简单，重要的是计算技巧，而勾股定理中常用的就是平方差公式，在计算的过程中，平方差公式还是很好用的。为此今天和大家分享的就是数学难点勾股定理最短路径问题的解决方法，有问题的同学一定要仔阅读哦。

1.勾股定理最短路径基础问题

例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。

这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。

2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点

如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。

例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？

分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。

3.在圆柱体中爬行半圈或一圈

在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。

例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

4.正方体表面爬行

蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。

例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？

本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。

5.圆柱体多圈问题

例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？

分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。

6.蚂蚁爬行转化为将军饮马问题

例题6：如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是多少厘米？

分析：本将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力。将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求。

本题是由外到内，需要转化为将军饮马问题解决，不是单单蚂蚁爬行问题。

7.蚂蚁在楼梯上爬行

例题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?

分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。

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